量子力学第一章-波函数
量子力学
第一章——波函数与定态薛定谔方程
首先薛定谔方程为
iℏ∂Ψ∂t=−ℏ22m∂2Ψ∂x2+VΨ
i\hbar \frac{\partial \Psi }{\partial t} =-\frac{\hbar ^{2} }{2m} \frac{\partial^{2}\Psi }{\partial x^{2} } +V\Psi
iℏ∂t∂Ψ=−2mℏ2∂x2∂2Ψ+VΨ
1.1波函数的统计诠释
波函数满足波恩的统计诠释，该诠释指出波函数的模方∣Ψ(r,t)∣2\left | \Psi(r,t) \right | ^{2}∣Ψ(r,t)∣2表示为概率密度函数。而∣Ψ(r,t)∣2dxdydz\left | \Psi(r,t) \right | ^{2} dxdydz∣Ψ(r,t)∣2dxdydz表示ttt时刻在rrr附近的体积微元找到粒子的概率。我们下面以一维情况来讨论，根据波函数统计诠释可以得到：
∫ab∣Ψ(x,t)∣2dx
\int_{a}^{b} \left | \Psi(x,t) \right |^{2} dx
∫ab∣Ψ(x,t)∣2dx
这里再解释一下波函数的模方，波函数模方等于波函数的复共轭乘波函数，也就是波函数模方等于Ψ∗Ψ\Psi ^{*} \PsiΨ∗Ψ,那么上面的积分中被积函数就可以被等价替换。波函数如果前面加了一个eiφe^{i\varphi }eiφ得到新的波函数，根据上面可知粒子的概率密度函数不会变，新的波函数仍然能描述粒子。
表示粒子在区间ababab之间出现的概率，三维情况类似后面讲到中心力场再叙述，这里以一维情况为参考。除此之外波函数还要满足归一化：
∫全空间∣Ψ(x,t)∣2dx=1
\int_{全空间}^{} \left | \Psi(x,t) \right |^{2} dx=1
∫全空间∣Ψ(x,t)∣2dx=1
这里全空间指的是波函数存在范围，例如一维无限深势阱全空间就是势阱区域，一维谐振子全空间就是$-\infty 到到到+\infty $区域。为了方便引入如下式子
(Ψ,Ψ)=∫全空间∣Ψ∣2dx=∫全空间Ψ∗Ψdx
(\Psi ,\Psi )=\int_{全空间}^{} \left | \Psi \right |^{2} dx=\int_{全空间}^{} \Psi ^{*}\Psi dx
(Ψ,Ψ)=∫全空间∣Ψ∣2dx=∫全空间Ψ∗Ψdx
下面进行习题训练
1.2期望
在量子力学中有离散谱与连续谱之分，下面分别介绍。
假如有一群人人数是固定的，设人的身高为xxx，人的身高为xxx的概率为P(x)P(x)P(x)，那么根据数学可以求得其身高平均值，身高平方的平均值，身高的标准差，当然也可以得到方差。
身高平均值⟨x⟩=xˉ=∑x=0∞xP(x)
身高平均值 \left \langle x \right \rangle = \bar{x} =\sum_{x=0}^{\infty } xP(x)
身高平均值⟨x⟩=xˉ=x=0∑∞xP(x)
身高平方的平均值⟨x2⟩=x2ˉ=∑x=0∞x2P(x)
身高平方的平均值\left \langle x ^{2} \right \rangle =\bar{x^{2} } =\sum_{x=0}^{\infty } x^{2} P(x)
身高平方的平均值⟨x2⟩=x2ˉ=x=0∑∞x2P(x)
σ2=⟨(x−xˉ)2⟩=∑(x−xˉ)2P(x)=∑(x2−2xxˉ+xˉ2)P(x)=⟨x2⟩−2⟨x⟩⟨x⟩+⟨x⟩2=⟨x2⟩−⟨x⟩2
\sigma ^{2} =\left \langle (x-\bar{x} ) ^{2} \right \rangle =\sum (x-\bar{x} )^{2} P(x)=\sum (x^{2} -2x\bar{x}+\bar{x} ^{2} )P(x)=\left \langle x^{2} \right \rangle -2\left \langle x \right \rangle \left \langle x \right \rangle +\left \langle x \right \rangle ^{^{2} } =\left \langle x^{2}\right \rangle -\left \langle x \right \rangle ^{2}
σ2=⟨(x−xˉ)2⟩=∑(x−xˉ)2P(x)=∑(x2−2xxˉ+xˉ2)P(x)=⟨x2⟩−2⟨x⟩⟨x⟩+⟨x⟩2=⟨x2⟩−⟨x⟩2
那么可以得到身高的方差：
σ=⟨x2⟩−⟨x⟩2
\sigma =\sqrt{\left \langle x^{2}\right \rangle -\left \langle x \right \rangle ^{2}}
σ=⟨x2⟩−⟨x⟩2
上面讨论的是离散的情况，下面讨论连续情况。连续情况就是将求和换做积分即可，假设一个粒子处在ababab区间内，该区域外找不到粒子，其坐标为xxx，概率密度函数为ρ(x)\rho (x)ρ(x)，那么可以得到如下
⟨x⟩=xˉ=∫abxρ(x)dx
\left \langle x \right \rangle =\bar{x}=\int_{a}^{b} x\rho (x)dx
⟨x⟩=xˉ=∫abxρ(x)dx
⟨x2⟩=x2ˉ=∫abx2ρ(x)dx
\left \langle x^{2} \right \rangle =\bar{x^{2} }=\int_{a}^{b} x^{2} \rho (x)dx
⟨x2⟩=x2ˉ=∫abx2ρ(x)dx
1.3归一化
对于归一化问题，如果在t=0t=0t=0时刻是归一化的那么随着时间的演化任何时间段都是归一化的，下面主要来证明这个结论。
还以一维波函数为例，满足如下方程：
∫−∞+∞∣Ψ(x,t)∣2dx=1
\int_{-\infty }^{+\infty } \left | \Psi(x,t) \right |^{2} dx=1
∫−∞+∞∣Ψ(x,t)∣2dx=1
上面说了无穷远处波函数为零，那么就是束缚态。
1.4动量
根据上面我们知道，对于处在态Ψ\PsiΨ的粒子其坐标xxx的期望值为
⟨x⟩=xˉ=∫abx∣Ψ(x,t)∣2dx
\left \langle x \right \rangle =\bar{x}=\int_{a}^{b} x\left | \Psi (x,t) \right |^{2} dx
⟨x⟩=xˉ=∫abx∣Ψ(x,t)∣2dx
根据上面1.25可以得到
d⟨xˉ⟩dt=∫x∂∣Ψ∣2∂tdx=iℏ2m∫x∂(Ψ∗∂Ψ∂x−∂Ψ∗∂xΨ)∂xdx
\frac{d\left \langle \bar{x} \right \rangle }{dt} =\int x\frac{\partial \left | \Psi \right |^{2} }{\partial t} dx=\frac{i\hbar }{2m} \int x\frac{\partial (\Psi ^{*} \frac{\partial \Psi }{\partial x} -\frac{\partial \Psi ^{*} }{\partial x} \Psi )}{\partial x}dx
dtd⟨xˉ⟩=∫x∂t∂∣Ψ∣2dx=2miℏ∫x∂x∂(Ψ∗∂x∂Ψ−∂x∂Ψ∗Ψ)dx
利用分部积分法
将上述式子转化为
1.5定态薛定谔方程
我们知道一般的薛定谔方程为
iℏ∂Ψ∂t=−ℏ22m∂2Ψ∂x2+VΨ
i\hbar \frac{\partial \Psi }{\partial t} =-\frac{\hbar ^{2} }{2m} \frac{\partial^{2}\Psi }{\partial x^{2} } +V\Psi
iℏ∂t∂Ψ=−2mℏ2∂x2∂2Ψ+VΨ
一般情况下VVV是不含时间的，那么便可以用分立变量的方式对上面进行求解，下面进行叙述。
称②为定态薛定谔方程，称求解得到的波函数为定态，我们可以看出定态可以与时间有关，但是定态的概率密度函数与时间无关。此外我们可以知道定态下⟨x⟩\left \langle x \right \rangle⟨x⟩是常数，那么⟨p⟩\left \langle p \right \rangle⟨p⟩=0。与定态有关还有很多性质，我们后面在讲解。
哈密顿量H=p22m+V(x)=−ℏ22m∂2∂x2+V(x)
哈密顿量H=\frac{p^{2} }{2m} +V(x)=-\frac{\hbar ^{2} }{2m} \frac{\partial^{2} }{\partial x^{2} } +V(x)
哈密顿量H=2mp2+V(x)=−2mℏ2∂x2∂2+V(x)
那么定态薛定谔方程可以写为
H^ϕ=Eϕ
\hat{H} \phi =E\phi
H^ϕ=Eϕ
哈密顿量就对应能量EEE，也就是我们对哈密顿量求期望就可以得到粒子能量的期望值。假如粒子处于一个定态，也就是粒子满足定态薛定谔方程，那么有如下关系。
当然一般情况下粒子所处的态并不是定态，而是一系列定态的线性叠加。
1.6束缚态与散射态
1.7德尔塔函数以及傅里叶变换
1.8一维势场
常见的一维势场有一维无限深势阱模型，有限深势阱模型，以及德尔塔函数势，谐振子势能，还有自由粒子模型。下面主要讨论一维无限深势阱，德尔塔势中束缚态，谐振子势。
一维无限深势阱
δ势
散射
谐振子
<
1.9态叠加原理
1.10概率流密度
### 1.11一维定态的一些问题
经过以上讨论我们做一个习题巩固